Wheatstone bridge
温度誤差などに非常に強い
References
計測方法
可変抵抗を使った計測
https://gyazo.com/df34016a82cda31d380af30a14166172
そのときGでの電圧差がなくなるから$ \begin{dcases}R_1I_1=R_2I_2\\RI_1=R_3I_2\end{dcases}より
$ R=\frac{I_2}{I_1}R_3=\frac{R_1}{R_2}R_3
と、既知の抵抗値$ R_1,R_2,R_3から$ Rを求められる
それぞれの抵抗が同じ品質かつ近い場所にあるとき、温度誤差を減らせる利点もある
うん？$ R_1,R_2に関しては打ち消せるけど、$ R_3の温度上昇による誤差はそのまま残るんじゃないか？takker.icon
まあ$ R_1,R_2の温度誤差を打ち消せるだけでもありがたいけど
同じだけずれるから問題ない
何なら$ R_3の校正係数から求めればいい
電圧を使った計測
https://gyazo.com/ca16d336d3ab2cae2982012b3738317c
$ \begin{dcases}R_2I_2=E_{\rm out}+R_1I_1\\R_4I_4=E_{\rm out}+R_3I_3\\I_1+I_2=I_3+I_4\\E_{\rm in}=R_1I_1+R_4I_4\end{dcases}
$ I_4=I_1+I_{\rm out}
$ I_{\rm out}：$ E_{\rm out}の電流
5本式があるので、$ E,Rのみの式にできる
$ I_2,I_3を消去
$ \frac{E_{\rm out}}{R_2}+\frac{R_1}{R_2}I_1+I_1=-\frac{E_{\rm out}}{R_3}+\frac{R_4}{R_3}I_4+I_4
$ \iff R_1I_1=\frac{-\frac{E_{\rm out}}{R_3}+\frac{R_4}{R_3}I_4+I_4-\frac{E_{\rm out}}{R_2}}{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}}
$ = -E_{\rm out}\frac{\frac1{R_3}+\frac1{R_2}}{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}}+R_4I_4\frac{\frac1{R_3}+\frac1{R_4}}{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}}
$ E_{\rm out}=に整理する
$ \implies R_1I_4-R_1I_{\rm out}=-E_{\rm out}\frac{\frac1{R_3}+\frac1{R_2}}{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}}+R_4I_4\frac{\frac1{R_3}+\frac1{R_4}}{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}}
$ \iff E_{\rm out}=-\frac{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}}{\frac1{R_3}+\frac1{R_2}}\frac{R_1I_4-R_1I_{\rm out}-R_4I_4\frac{\frac1{R_3}+\frac1{R_4}}{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}}}{1}
$ =-\frac{R_4I_4\left(\frac{R_1}{R_4}\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right)-\frac1{R_3}-\frac1{R_4}\right)-\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right)R_1I_{\rm out}}{\frac1{R_3}+\frac1{R_2}}
$ =-\frac{R_4I_4\left(\frac{R_1}{R_4}\frac1{R_2}-\frac1{R_3}\right)-\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right)R_1I_{\rm out}}{\frac1{R_3}+\frac1{R_2}}
$ =-\frac{I_4\left(\frac{R_1}{R_2}-\frac{R_4}{R_3}\right)-\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right)R_1I_{\rm out}}{\frac1{R_3}+\frac1{R_2}}
$ I_4を求める
$ E_{\rm in}=R_1I_4-R_1I_{\rm out}+R_4I_4
$ \iff I_4=\frac{E_{\rm in}+R_1I_{out}}{R_1+R_4}
$ E_{\rm out}を求める
$ E_{\rm out}=-\frac{\frac{E_{\rm in}+R_1I_{out}}{R_1+R_4}\left(\frac{R_1}{R_2}-\frac{R_4}{R_3}\right)-\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right)R_1I_{\rm out}}{\frac1{R_3}+\frac1{R_2}}
$ =-\frac{\frac{\frac{R_1}{R_2}-\frac{R_4}{R_3}}{R_1+R_4}}{\frac1{R_3}+\frac1{R_2}}E_{\rm in}+\frac{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}}{\frac1{R_3}+\frac1{R_2}}R_1I_{\rm out}-\frac{\frac{\frac{R_1}{R_2}-\frac{R_4}{R_3}}{R_1+R_4}}{\frac1{R_3}+\frac1{R_2}}R_1I_{\rm out}
$ =-\frac{\frac{R_1}{R_2}-\frac{R_4}{R_3}}{R_1+R_4}\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}E_{\rm in}+\frac{\frac{R_2R_3}{R_1}+R_3}{R_2+R_3}R_1I_{\rm out}-\frac{\frac{R_1}{R_2}-\frac{R_4}{R_3}}{R_1+R_4}\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}R_1I_{\rm out}
$ =\frac{R_2R_4-R_1R_3}{R_1+R_4}\frac{1}{R_2+R_3}E_{\rm in}+\frac{R_1+R_2}{R_2+R_3}R_3I_{\rm out}+\frac{R_2R_4-R_1R_3}{R_1+R_4}\frac{1}{R_2+R_3}R_1I_{\rm out}
$ =\frac{R_2R_4-R_1R_3}{R_1+R_4}\frac1{R_2+R_3}E_{\rm in}+\frac1{R_2+R_3}\left(R_1R_3+R_2R_3+\frac{R_2R_4-R_1R_3}{R_1+R_4}R_1\right)I_{\rm out}
$ =\frac{R_2R_4-R_1R_3}{R_1+R_4}\frac1{R_2+R_3}E_{\rm in}+\frac1{R_2+R_3}\frac1{R_1+R_4}\left(R_1^2R_3+R_1R_3R_4+R_1R_2R_3+R_2R_3R_4+R_1R_2R_4-R_1^2R_3\right)I_{\rm out}
$ =\frac{R_2R_4-R_1R_3}{R_1+R_4}\frac1{R_2+R_3}E_{\rm in}+\frac1{R_2+R_3}\frac1{R_1+R_4}\left(R_1R_3R_4+R_1R_2R_3+R_2R_3R_4+R_1R_2R_4\right)I_{\rm out}
$ =\frac{R_2R_4-R_1R_3}{R_1+R_4}\frac1{R_2+R_3}E_{\rm in}+\frac{R_1R_4}{R_1+R_4}\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_3}+\frac1{R_4}\right)I_{\rm out}
$ =\frac{R_2R_4-R_1R_3}{R_1R_2R_3R_4}\frac1{\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_4}\right)\left(\frac1{R_2}+\frac1{R_3}\right)}E_{\rm in}+\frac{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_3}+\frac1{R_4}}{\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_4}\right)\left(\frac1{R_2}+\frac1{R_3}\right)}I_{\rm out}
$ =\frac{\frac1{R_1R_3}-\frac1{R_2R_4}}{\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_4}\right)\left(\frac1{R_2}+\frac1{R_3}\right)}E_{\rm in}+\left(\frac1{\frac1{R_1}+\frac1{R_4}}+\frac1{\frac1{R_2}+\frac1{R_3}}\right)I_{\rm out}
$ \frac1{\frac1{R_1}+\frac1{R_4}}+\frac1{\frac1{R_2}+\frac1{R_3}}は$ E_{\rm in}=0のときの回路全体の抵抗に等しい
ここで$ \left(\frac1{\frac1{R_1}+\frac1{R_4}}+\frac1{\frac1{R_2}+\frac1{R_3}}\right)I_{\rm out}\approx0とすれば
$ \underline{E_{\rm out}=\frac{R_2R_4-R_3R_1}{R_2+R_3}\frac1{R_1+R_4}E_{\rm in}\quad}_\blacksquare
となる